Questão 3.[3,00 pontos]
Calcule o volume da região x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 utilizando integrais triplas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da região delimitada por
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4
ou seja, a bola de raio 2. O conteúdo aqui é cálculo de volume por meio de integrais triplas e a técnica mais simples é usar coordenadas esféricas, que transformam a integral numa forma separável.

Passo 2

Definimos as coordenadas esféricas:
\begin{cases} x = \rho \,\sin\theta\cos\varphi,\\\ y = \rho \,\sin\theta\sin\varphi,\\\ z = \rho \,\cos\theta, \end{cases}
onde \rho\ge0, \theta\in[0,\pi] (ângulo polar) e \varphi\in[0,2\pi] (ângulo azimutal). O Jacobiano dessa transformação é
\bigl|\det J\bigr| = \rho^{2}\sin\theta.

Passo 3

Escrevemos a integral do volume V em esféricas:
V = \iiint_{\rho\le2} dV = \int_{\varphi=0}^{2\pi}\!\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{\rho=0}^{2} \rho^{2}\sin\theta \;d\rho\,d\theta\,d\varphi.
Agora calculamos em etapas:
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = \bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi} = 2.
  1. Integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi.
Multiplicando tudo:
V = \frac{8}{3}\times 2\times 2\pi = \frac{32\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{32\pi}{3}.

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