Questão 3.[3,00 pontos]
Calcule o volume da região x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 utilizando integrais triplas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume da região delimitada por
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4
ou seja, a bola de raio 2. O conteúdo aqui é cálculo de volume por meio de integrais triplas e a técnica mais simples é usar coordenadas esféricas, que transformam a integral numa forma separável.
Passo 2
Definimos as coordenadas esféricas:
\begin{cases} x = \rho \,\sin\theta\cos\varphi,\\\ y = \rho \,\sin\theta\sin\varphi,\\\ z = \rho \,\cos\theta, \end{cases}
onde \rho\ge0, \theta\in[0,\pi] (ângulo polar) e \varphi\in[0,2\pi] (ângulo azimutal). O Jacobiano dessa transformação é
\bigl|\det J\bigr| = \rho^{2}\sin\theta.
Passo 3
Escrevemos a integral do volume V em esféricas:
V = \iiint_{\rho\le2} dV = \int_{\varphi=0}^{2\pi}\!\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{\rho=0}^{2} \rho^{2}\sin\theta \;d\rho\,d\theta\,d\varphi.