Questão 2.[2,00 pontos]
Calcule o volume da região delimitada por x^{2}+y^{2} \leq 4 e os planos z=0 e z=5 utilizando integrais triplas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região que, projetada no plano xy, é o disco definido por
x^{2}+y^{2}\le4
e que está entre os planos z=0 e z=5.
O conteúdo envolve integrais triplas e, por simetria circular, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as trocas
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
com o elemento de volume
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
A região fica descrita por
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le z \le 5.

Passo 3

O volume V é dado por
V = \iiint_{\text{Região}} dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{5} r\,dz\,dr\,d\theta.ã

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{5} r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{5} = 5r.
Logo
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 5r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos em r e depois em \theta:
\int_{0}^{2} 5r\,dr = 5\cdot \frac{r^{2}}{2}\Bigl|_{0}^{2} = 5\cdot\frac{4}{2} = 10,
V = \int_{0}^{2\pi} 10\,d\theta = 10\cdot 2\pi = 20\pi.

Resposta

O volume da região é 20\pi.

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