Calcule as transformadas de Laplace abaixo.
\mathcal{L}\left\{t^{2} \operatorname{sinh} (t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,f(t)=t^{2}\operatorname{sinh}(t).
O conteúdo principal é usar a propriedade de derivadas em s para o fator t^{n} na transformada de Laplace.

Passo 2

Recordamos a propriedade
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\} =(-1)^{n}\,\frac{d^{n}}{ds^{n}}\bigl[F(s)\bigr],
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.

Passo 3

Identificamos f_{0}(t)=\operatorname{sinh}(t). Sua transformada é
F(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(t)\} =\frac{1}{s^{2}-1}, \qquad s>1.

Passo 4

Para n=2 temos
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sinh}(t)\} =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\Bigl[\frac{1}{s^{2}-1}\Bigr].
Primeiro, calculemos a derivada primeira:
F'(s) =\frac{d}{ds}\bigl[(s^{2}-1)^{-1}\bigr] =-1\cdot(s^{2}-1)^{-2}\cdot2s =-\frac{2s}{(s^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

Agora a derivada segunda:
F''(s) =\frac{d}{ds}\Bigl[-\frac{2s}{(s^{2}-1)^{2}}\Bigr] =-2\,(s^{2}-1)^{-2} -2s\cdot(-2)\,(s^{2}-1)^{-3}\cdot2s.
Isso dá
F''(s) =-\frac{2}{(s^{2}-1)^{2}} +\frac{8s^{2}}{(s^{2}-1)^{3}}.

Passo 6

Para simplificar, colocamos no mesmo denominador:
F''(s) =\frac{-2\,(s^{2}-1)+8s^{2}}{(s^{2}-1)^{3}} =\frac{-2s^{2}+2+8s^{2}}{(s^{2}-1)^{3}} =\frac{6s^{2}+2}{(s^{2}-1)^{3}} =2\,\frac{3s^{2}+1}{(s^{2}-1)^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sinh}(t)\} =\frac{2\,(3s^{2}+1)}{(s^{2}-1)^{3}}, \quad s>1.

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