Calcule as transformadas de Laplace usando a definição.
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} (k t)\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de \operatorname{cosh}(k t) usando a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
O conteúdo é cálculo de transformada de Laplace de funções exponenciais e a identidade hiperbolicamente exponencial
\operatorname{cosh}(kt)=\tfrac{e^{kt}+e^{-kt}}{2}.

Passo 2

Escrevemos a definição com f(t)=\operatorname{cosh}(kt):
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(kt)\} =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{cosh}(kt)\,dt
e aplicamos a identidade
\operatorname{cosh}(kt)=\frac{e^{kt}+e^{-kt}}{2}.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, obtemos
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(kt)\} =\frac12\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-st+kt}+e^{-st-kt}\bigr)\,dt =\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-(s-k)t}\,dt +\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-(s+k)t}\,dt.

Passo 4

Cada integral é do tipo \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt=1/a desde que \Re(a)>0.
Aqui precisamos de \Re(s\pm k)>0, isto é, \Re(s)>|k|. Assim,
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-k)t}\,dt=\frac{1}{s-k}, \quad \int_{0}^{\infty}e^{-(s+k)t}\,dt=\frac{1}{s+k}.

Passo 5

Somando e simplificando:
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(kt)\} =\frac12\Bigl(\frac{1}{s-k}+\frac{1}{s+k}\Bigr) =\frac12\cdot\frac{(s+k)+(s-k)}{(s-k)(s+k)} =\frac{2s}{2\,(s^2-k^2)} =\frac{s}{s^2-k^2}.

Resposta

\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(kt)\}=\frac{s}{s^2-k^2},\quad \Re(s)>|k|.

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