Calcule os problemas de valores iniciais dados.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+23 y=2, y(0)=0 e y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 23y = 2, \quad y(0)=0,\quad y'(0)=2.
O conteúdo que vamos usar é a teoria de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro encontramos a solução geral da homogênea, depois uma particular, e por fim ajustamos as constantes aos valores iniciais.

Passo 2

Resolvendo a homogênea associada
y'' + 4y' + 23y = 0,
assumimos y=e^{rt} e obtemos a equação característica
r^2 + 4r + 23 = 0.
As raízes são
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot23}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-84}}{2} = -2 \pm i\sqrt{21}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t) = e^{-2t}\Bigl(C_1 \cos(\sqrt{21}\,t) + C_2 \sin(\sqrt{21}\,t)\Bigr).

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p da equação não homogênea com termo constante 2, tentamos y_p=A constante. Substituindo em y''+4y'+23y=2
23A = 2 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{2}{23}.
Então
y_p(t) = \frac{2}{23}.

Passo 4

A solução geral do problema é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{-2t}\Bigl(C_1 \cos(\sqrt{21}\,t) + C_2 \sin(\sqrt{21}\,t)\Bigr) + \frac{2}{23}.

Passo 5

Usamos y(0)=0. Como e^0=1, \cos0=1, \sin0=0, temos
y(0) = C_1 + \frac{2}{23} = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -\frac{2}{23}.

Passo 6

Agora calculamos y'(t). Derivando,
y'(t) = -2e^{-2t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{21}t)+C_2\sin(\sqrt{21}t)\bigr) + e^{-2t}\bigl(-C_1\sqrt{21}\,\sin(\sqrt{21}t)+C_2\sqrt{21}\,\cos(\sqrt{21}t)\bigr).
Em t=0 isso vira
y'(0) = -2C_1 + C_2\sqrt{21} = 2.
Substituindo C_1=-\tfrac{2}{23},
-2\Bigl(-\frac{2}{23}\Bigr) + C_2\sqrt{21} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{23} + C_2\sqrt{21} = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{2 - \tfrac{4}{23}}{\sqrt{21}} = \frac{\tfrac{46}{23}-\tfrac{4}{23}}{\sqrt{21}} = \frac{42}{23\sqrt{21}}.

Resposta

\boxed{% y(t) = e^{-2t}\Bigl(-\tfrac{2}{23}\cos(\sqrt{21}\,t) + \tfrac{42}{23\sqrt{21}}\sin(\sqrt{21}\,t)\Bigr) +\tfrac{2}{23}. }%

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