Calcule as transformadas inversas.
\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-23 s} \frac{3}{(s+2)^{6}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{e^{-23s}\,\frac{3}{(s+2)^{6}}\Bigr\}.
Aqui vamos usar o segundo teorema de deslocamento no tempo (ou teorema do atraso) e a fórmula básica
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+a)^{n}}\Bigr\} = \frac{t^{\,n-1}e^{-a t}}{(n-1)!}.

Passo 2

Separar o fator de atraso e identificar a parte não deslocada. Escrevemos
F(s)=\frac{3}{(s+2)^{6}},\quad e^{-23s}
e sabemos que se
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s),
então
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-23s}F(s)\}=f(t-23)\,u(t-23),
onde u(t-23) é a função de Heaviside centrada em t=23.

Passo 3

Calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\bigl\{F(s)\bigr\}=\mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{3}{(s+2)^{6}}\bigr\}.
Usando
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+2)^{6}}\Bigr\}=\frac{t^{5}e^{-2t}}{5!},
multiplicamos por 3:
f(t)=3\cdot\frac{t^{5}e^{-2t}}{5!} =\frac{3\,t^{5}e^{-2t}}{120} =\frac{t^{5}e^{-2t}}{40}.

Passo 4

Aplicar o deslocamento em t. Pela fórmula do atraso, a transformada inversa pedida é
f(t-23)\,u(t-23) =\frac{(t-23)^{5}e^{-2(t-23)}}{40}\;u(t-23).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{e^{-23s}\,\tfrac{3}{(s+2)^{6}}\Bigr\} =\frac{(t-23)^{5}e^{-2(t-23)}}{40}\;u(t-23).

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