Calcule os problemas de valores iniciais dados.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=x^{2}, y(0)=1 e y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = x^2,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=3.
Esse é um EDO linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea, depois uma particular e por fim impor as condições iniciais.

Passo 2

A solução complementar y_c satisfaz
y'' - y' - 2y = 0.
A equação característica é
r^2 - r - 2 = 0,
cuja raízes são r=2 e r=-1. Logo
y_c = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular polinomial de grau 2:
y_p = Ax^2 + Bx + C.
Então
y_p' = 2Ax + B,\quad y_p'' = 2A.
Substituindo em y'' - y' - 2y = x^2, obtemos
2A - (2Ax + B) - 2(Ax^2 + Bx + C) = x^2,
ou seja
-2A\,x^2 + (-2A -2B)\,x + (2A - B -2C) = x^2.
Igualando coeficientes:
-2A = 1,\quad -2A -2B = 0,\quad 2A - B -2C = 0,
de onde
A = -\tfrac12,\quad B = \tfrac12,\quad C = -\tfrac34.
Assim
y_p = -\tfrac12 x^2 + \tfrac12 x - \tfrac34.

Passo 4

A solução geral do EDO é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - \tfrac12 x^2 + \tfrac12 x - \tfrac34.

Passo 5

Derivando,
y'(x) = 2C_1 e^{2x} - C_2 e^{-x} - x + \tfrac12.
Impondo y(0)=1 e y'(0)=3 gera o sistema
C_1 + C_2 - \tfrac34 = 1, \quad 2C_1 - C_2 + \tfrac12 = 3,
ou seja
C_1 + C_2 = \tfrac74, \quad 2C_1 - C_2 = \tfrac52.
Resolvendo, obtemos
C_1 = \tfrac{17}{12}, \quad C_2 = \tfrac13.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{17}{12}e^{2x} + \frac13 e^{-x} - \frac12 x^2 + \frac12 x - \frac34.}

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