Calcule as transformadas de Laplace abaixo.
\mathcal{L}\left{\left(t-2 t+e{t}\right){3}\right}

Passo 1

O enunciado quer a transformada de Laplace de
(t - 2\,t + e^{t})^{3}\,,
que, ao simplificar t-2t=-t, fica
\mathcal{L}\bigl\{(e^{t}-t)^{3}\bigr\}\,.
Para resolver, vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace e as fórmulas conhecidas para \mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\} e \mathcal{L}\{t^{n}\}.

Passo 2

Expandimos o cubo pela fórmula de binômio de Newton:
(e^{t}-t)^{3} = e^{3t} -3\,t\,e^{2t} +3\,t^{2}\,e^{t} - t^{3}\,.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, sabendo que
\mathcal{L}\{t^{n}e^{at}\} =\frac{n!}{(s-a)^{\,n+1}} \quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{t^{n}\} =\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
Logo:
\mathcal{L}\{e^{3t}\} =\frac{1}{s-3}, \quad \mathcal{L}\{t\,e^{2t}\} =\frac{1}{(s-2)^{2}},
\mathcal{L}\{t^{2}\,e^{t}\} =\frac{2}{(s-1)^{3}}, \quad \mathcal{L}\{t^{3}\} =\frac{6}{s^{4}}.

Passo 4

Usando linearidade e os coeficientes da expansão, temos
\mathcal{L}\{(e^{t}-t)^{3}\} =\frac{1}{s-3} -3\cdot\frac{1}{(s-2)^{2}} +3\cdot\frac{2}{(s-1)^{3}} -\frac{6}{s^{4}}
o que simplifica para

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{(t-2t+e^{t})^{3}\} =\frac{1}{s-3} -\frac{3}{(s-2)^{2}} +\frac{6}{(s-1)^{3}} -\frac{6}{s^{4}} }.

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