Determine uma função polinomial de grau 2, de coeficientes reais, que admite 1-3 i como raiz.

Passo 1

O enunciado pede uma função polinomial de grau 2, com coeficientes reais, que tenha \,1-3i como raiz. Como o polinômio tem coeficientes reais, sabemos que raízes complexas surgem em pares conjugados.

Passo 2

Logo, se 1-3i é raiz, seu conjugado 1+3i também deve ser raiz. Assim as duas raízes são
x_1 = 1-3i \quad\text{e}\quad x_2 = 1+3i.

Passo 3

A forma fatorada do polinômio é
(x - x_1)(x - x_2) = \bigl(x - (1-3i)\bigr)\,\bigl(x - (1+3i)\bigr).

Passo 4

Para expandir, note que basta usar a identidade (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Aqui
a = x-1, \quad b = 3i,
então
\bigl(x - (1-3i)\bigr)\bigl(x - (1+3i)\bigr) = (x-1 + 3i)(x-1 - 3i) = (x-1)^2 - (3i)^2.

Passo 5

Calculando:
(3i)^2 = 9\,i^2 = -9,
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(x-1)^2 - (3i)^2 = (x-1)^2 - (-9) = (x-1)^2 + 9 = x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 2x + 10.

Resposta

A função procurada é
f(x) = x^2 - 2x + 10.

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