Dizemos que
é algébrico se existe uma função polinomial
com coeficientes inteiros tal que
. Mostre que
é algébrico.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que
é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.
Conteúdo da matéria: definição de número algébrico e eliminação de radicais por quadrados sucessivos.
Estratégia: definir , escrever relações envolvendo as raízes e ir quadrando para eliminar
, depois
, até obter um polinômio em
com coeficientes inteiros.
é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.
Conteúdo da matéria: definição de número algébrico e eliminação de radicais por quadrados sucessivos.
Estratégia: definir
Passo 2
Defina
Então
e ao quadrar obtemos
Reagrupando, isolamos
:
Passo 3
Agora elevamos ao quadrado essa última relação para eliminar
. Do lado direito teremos
,
e do lado esquerdo
e do lado esquerdo
Logo
Passando os termos sem radical para o lado esquerdo, isolamos o termo com
:
Mas repare que
.
Passo 4
Em vez de
, podemos notar que já vínhamos com fator
cercado de outras raízes; para simplificar vamos usar a versão obtida no Passo 2 antes de expandir tanto. Uma forma mais direta é ver que a relação do Passo 2 nos dá
Ao quadrar isto temos
Reorganizando resulta em
Finalmente elevamos ao quadrado para eliminar
:
Colocando tudo de um lado, obtemos o polinômio com coeficientes inteiros:
Resposta
logo
é algébrico.