Dizemos que \alpha \in \mathbb{C} é algébrico se existe uma função polinomial f(x) com coeficientes inteiros tal que f(\alpha)=0. Mostre que \alpha=\sqrt{1+\sqrt{2}}+\sqrt{3} é algébrico.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que \alpha = \sqrt{1+\sqrt{2}} + \sqrt{3}
é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.
Conteúdo da matéria: definição de número algébrico e eliminação de radicais por quadrados sucessivos.
Estratégia: definir x=\alpha, escrever relações envolvendo as raízes e ir quadrando para eliminar \sqrt{2}, depois \sqrt{6}, até obter um polinômio em x com coeficientes inteiros.

Passo 2

Defina
x = \sqrt{1+\sqrt{2}} + \sqrt{3}.
Então
x - \sqrt{3} = \sqrt{1+\sqrt{2}},
e ao quadrar obtemos
(x - \sqrt{3})^2 = 1 + \sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x\sqrt{3} + 3 = 1 + \sqrt{2}.
Reagrupando, isolamos \sqrt{2}:
x^2 + 2 - 2x\sqrt{3} = \sqrt{2}.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado essa última relação para eliminar \sqrt{2}. Do lado direito teremos (\sqrt{2})^2 = 2,
e do lado esquerdo
\bigl(x^2 + 2 - 2x\sqrt{3}\bigr)^2 = (x^2+2)^2 - 4x\sqrt{3}\,(x^2+2) + 12x^2.
Logo
(x^2+2)^2 - 4x\sqrt{3}\,(x^2+2) +12x^2 = 2.
Passando os termos sem radical para o lado esquerdo, isolamos o termo com \sqrt{3}:
(x^2+2)^2 +12x^2 - 2 = 4x\sqrt{3}\,(x^2+2).
Mas repare que 4x\sqrt{3}\,(x^2+2) = 4x(x^2+2)\sqrt{3}.

Passo 4

Em vez de \sqrt{3}, podemos notar que já vínhamos com fator \sqrt{3} cercado de outras raízes; para simplificar vamos usar a versão obtida no Passo 2 antes de expandir tanto. Uma forma mais direta é ver que a relação do Passo 2 nos dá
x^2 + 2 - 2x\sqrt{3} = \sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2} + 2x\sqrt{3} = x^2 + 2.
Ao quadrar isto temos
(\sqrt{2} + 2x\sqrt{3})^2 = 2 + 4x\sqrt{6} +12x^2 \;=\;(x^2+2)^2.
Reorganizando resulta em
4x\sqrt{6} = x^4 - 8x^2 + 2.
Finalmente elevamos ao quadrado para eliminar \sqrt{6}:
(4x\sqrt{6})^2 = \bigl(x^4 - 8x^2 + 2\bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad 96x^2 = x^8 -16x^6 +68x^4 -32x^2 +4.
Colocando tudo de um lado, obtemos o polinômio com coeficientes inteiros:
x^8 -16x^6 +68x^4 -128x^2 +4 = 0.

Resposta

\alpha é raiz do polinômio
x^8 -16x^6 +68x^4 -128x^2 +4 =0,
logo \alpha é algébrico.

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