Calcule o produto escalar e o coseno do ângulo entre os vetores e esboce.
u=i+j+k ; v=-i+j+k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar de u e v, depois usar esse resultado para obter o cosseno do ângulo entre eles. O conteúdo envolve definição de produto escalar em R^3, norma de vetor e a fórmula
costheta = ucdot v|u|;|v|

Passo 2

Escrevemos as coordenadas dos vetores:
u = (1,1,1), v = (-1,1,1)
O produto escalar em R^3 é
ucdot v = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1

Passo 3

Calculamos as normas:
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3, |v| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 4

Substituindo na fórmula de cosseno,
costheta = ucdot v|u|;|v| = 1raiz3,raiz3 = 13

Passo 5

Geometricamente, em um sistema de eixos tridimensional, u aponta na direção do vetor (1,1,1) e v em (-1,1,1), simétricos em relação ao plano x=0. O esboço colocaria ambos partindo da origem, formando entre si um ângulo cujo cosseno vale tfrac13, ou seja aproximadamente 70,5^circ.

Resposta

O produto escalar é 1 e o cosseno do ângulo entre u e v é tfrac13.

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