Prove os seguintes teoremas:
0 cdot x=0, para todo x in V;

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V sobre um corpo F. Denotamos por 0F o elemento neutro aditivo de F e por 0 o vetor nulo de V. Queremos mostrar que, para todo xin V,
0Fcdot x ;=;0
As propriedades que usaremos são a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma em F e a existência de inverso aditivo em V.

Passo 2

Como 0F é o neutro aditivo em F, temos
0F + 0F = 0F
Aplicando a distributividade da multiplicação escalar, obtemos
(0F + 0F)cdot x ;=;0Fcdot x ;+;0Fcdot x
Mas o lado esquerdo é (0F)cdot x, logo
0Fcdot x ;=;0Fcdot x ;+;0Fcdot x

Passo 3

Em V, todo vetor tem inverso aditivo. Denote por -,l(0Fcdot xr) o inverso de 0Fcdot x. Somamos esse inverso aos dois lados da igualdade do Passo 2:
l[-,(0Fcdot x)r] + l(0Fcdot xr) ;=; l[-,(0Fcdot x)r] + l(0Fcdot x + 0Fcdot xr)
No lado esquerdo fica o vetor nulo 0. No direito, pela associatividade e propriedade de neutro aditivo em V,
0 = l(-,(0Fcdot x) + 0Fcdot xr) + 0Fcdot x = 0 + 0Fcdot x = 0Fcdot x

Resposta

0cdot x = 0em todo espaço vetorial ç

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