Prove os seguintes teoremas:
, para todo
;
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
sobre um corpo
. Denotamos por
o elemento neutro aditivo de
e por
o vetor nulo de
. Queremos mostrar que, para todo
,
As propriedades que usaremos são a distributividade da multiplicação escalar em relação à soma em
e a existência de inverso aditivo em
.
Passo 2
Como
é o neutro aditivo em
, temos
Aplicando a distributividade da multiplicação escalar, obtemos
Mas o lado esquerdo é
, logo
Passo 3
Em
, todo vetor tem inverso aditivo. Denote por
o inverso de
. Somamos esse inverso aos dois lados da igualdade do Passo 2:
No lado esquerdo fica o vetor nulo
. No direito, pela associatividade e propriedade de neutro aditivo em
,