Calcule o produto escalar e o coseno do ângulo entre os vetores e esboce.
u=2 i+2 j+k ; v=-i+2 j+k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar de u=2i+2j+k e v=-i+2j+k, depois usar essa informação para obter o cosseno do ângulo entre eles. O conteúdo envolvido é definição de produto escalar em R^3, cálculo de norma de vetor e a relação
costheta = ucdotv|u|;|v|

Passo 2

Em coordenadas, u=(2,2,1) e v=(-1,2,1). Aplicando a definição
ucdotv =2cdot(-1)+2cdot2+1cdot1 =-2+4+1 =3

Passo 3

Agora calculamos as normas:
|u| =raiz2^2+2^2+1^2 =raiz4+4+1 =3,
|v| =raiz(-1)^2+2^2+1^2 =raiz1+4+1 =raiz6

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno,
costheta =ucdotv|u|;|v| =33,raiz6 =1raiz6 approx0,408

Passo 5

Para esboçar, desenhe três eixos ortogonais x,y,z. A partir da origem, trace o vetor u até o ponto (2,2,1) (no “primeiro octante”) e o vetor v até (-1,2,1) (atrás do plano x=0), ambos inclinados para cima no eixo z. Isso mostra graficamente o ângulo agudo entre eles.

Resposta

Produto escalar: 3
Cosseno do ângulo: tfrac1raiz6approx0,408
Esboço conforme o passo 5.

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