Calcule o produto escalar e o coseno do ângulo entre os vetores e esboce.
u=i+k ; v=2 j

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=i+k e v=2,j
e pede (1) o produto escalar ucdotv, (2) o cosseno do ângulo theta entre eles e (3) um esboço.
O conteúdo envolve a definição de produto escalar em R^3,
ucdotv=uxvx+uyvy+uzvz,
e a relação
costheta=ucdotv|u||v|

Passo 2

Identificamos as componentes em relação à base canônica:
u=(1,0,1) e v=(0,2,0).
A definição de produto escalar nos diz que basta multiplicar componente a componente e somar.

Passo 3

Calculamos
ucdotv =1cdot0 + 0cdot2 + 1cdot0 =0

Passo 4

Agora as normas:
|u|=raiz1^2+0^2+1^2=raiz2, |v|=raiz0^2+2^2+0^2=2

Passo 5

Usando a fórmula do cosseno,
costheta =ucdotv|u||v| =0raiz2,cdot2 =0
Como costheta=0, conclui-se que theta=90^circ (ou pi/2 rad), ou seja, os vetores são perpendiculares.

Passo 6

Para esboçar, desenhe três eixos ortogonais x (horizontal), y (profundidade) e z (vertical).
O vetor u aponta na diagonal do plano xz em direção a (1,0,1),
enquanto v aponta ao longo do eixo y até (0,2,0).
Esse desenho mostra claramente que u e v formam um ângulo reto.

Resposta

Produto escalar: 0
Cosseno do ângulo: 0 (ângulo de 90^circ, vetores perpendiculares)
Esboço: vetor u na diagonal do plano xz, vetor v ao longo do eixo y.

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