Encontre os pontos de interseção dos planos 3 x+y+z=4 e x+y=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar os pontos de interseção dos planos 3x + y + z = 4 e x + y = 1. Isso envolve um pouco de álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas de equações. Para resolver isso, vamos precisar combinar as duas equações e encontrar os valores de x, y e z que satisfazem ambas ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a segunda equação: x + y = 1. Ela pode ser usada para expressar uma variável em termos da outra. Vamos resolver para x:
x = 1 - y
Isso nos ajuda a simplificar a primeira equação substituindo x por 1 - y.

Passo 3

Agora, vamos substituir x = 1 - y na primeira equação 3x + y + z = 4:
3(1 - y) + y + z = 4
Vamos resolver essa equação passo a passo.

Passo 4

Distribuindo o 3 dentro dos parênteses:
3 - 3y + y + z = 4
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 5

Combinando os termos de y:
3 - 2y + z = 4
Vamos isolar z para expressá-lo em termos de y.

Passo 6

Subtraindo 3 de ambos os lados:
-2y + z = 1
Agora, vamos resolver para z:
z = 2y + 1

Passo 7

Até agora, temos:
x = 1 - y
z = 2y + 1
Isso significa que y pode ser qualquer valor real, e x e z dependem desse valor de y. Podemos usar um parâmetro para representar isso.

Passo 8

Vamos chamar y de t, onde t é um número real qualquer. Então:
x = 1 - t
y = t
z = 2t + 1

Passo 9

Essas equações paramétricas descrevem todos os pontos de interseção dos dois planos. Então, a linha de interseção pode ser escrita como:
(x, y, z) = (1 - t, t, 2t + 1)

Resposta

Os pontos de interseção dos planos 3x + y + z = 4 e x + y = 1 formam uma linha descrita pelos parâmetros:
(x, y, z) = (1 - t, t, 2t + 1)
onde t é um número real qualquer.

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