Calcule o produto escalar \langle u, v\rangle quando:
u=(\cos (\theta), \sin (\theta)) e v=(\sin (\theta), \cos (\theta))

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
u = (\cos(\theta),\,\sin(\theta)), \quad v = (\sin(\theta),\,\cos(\theta))
e pede o produto escalar \langle u,v\rangle. O conteúdo aqui é a definição de produto escalar em \mathbb{R}^2.

Passo 2

A definição do produto escalar em \mathbb{R}^2 é
\langle u,v\rangle = u_1\,v_1 + u_2\,v_2,
onde u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2).

Passo 3

Aplicando essa definição aos componentes dados, temos
\langle u,v\rangle = \cos(\theta)\,\sin(\theta) \;+\;\sin(\theta)\,\cos(\theta) = 2\,\sin(\theta)\cos(\theta).

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
\sin(2\theta) = 2\,\sin(\theta)\cos(\theta),
o que nos leva a
\langle u,v\rangle = \sin(2\theta).

Resposta

\sin(2\theta)

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