Dois vetores u, v são chamados de ortogonais se \langle u, v\rangle=0. Verifique se u e v são ortogonais quando:
u=(2,-10, \sqrt{2}) e v=\left(2,-\frac{1}{5}, \sqrt{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3,
u = (2,\,-10,\,\sqrt{2})
e
v = \Bigl(2,\,-\tfrac{1}{5},\,\sqrt{2}\Bigr),
e pede para verificar se são ortogonais, ou seja, se o produto escalar \langle u,v\rangle é zero. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3.

Passo 2

A definição de produto escalar em \mathbb{R}^3 é
\langle u,v\rangle = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3,
onde u = (u_1,u_2,u_3) e v = (v_1,v_2,v_3).

Passo 3

Aplicando essa definição aos componentes de u e v, temos
\langle u,v\rangle = 2\cdot 2 + (-10)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{5}\Bigr) + (\sqrt{2})\cdot(\sqrt{2}) = 4 + 2 + 2 = 8.

Passo 4

Como \langle u,v\rangle = 8 \neq 0, concluímos que u e v não são ortogonais.

Resposta

Os vetores u e v não são ortogonais.

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