Dois vetores u, v são chamados de ortogonais se \langle u, v\rangle=0. Verifique se u e v são ortogonais quando:
u=\left(x^{2},-y\right) e v=\left(x y^{2}, x^{3} y\right)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^2:
u = \bigl(x^2,\,-y\bigr), \quad v = \bigl(x\,y^2,\;x^3\,y\bigr)
e pede para verificar se eles são ortogonais, ou seja, se o produto escalar \langle u,v\rangle é zero.

Passo 2

Lembrando que, em \mathbb{R}^2, o produto escalar de u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) é
\langle u,v\rangle = u_1\,v_1 + u_2\,v_2.
Aqui temos u_1 = x^2, u_2 = -y, v_1 = x\,y^2 e v_2 = x^3\,y. Logo,
\langle u,v\rangle = x^2\,(x\,y^2) + (-y)\,(x^3\,y).

Passo 3

Agora simplificamos:
\langle u,v\rangle = x^3\,y^2 \;-\; x^3\,y^2 = 0.
Como o produto escalar é zero para quaisquer x,y, concluímos que os vetores são ortogonais.

Resposta

Sim, u e v são ortogonais porque \langle u,v\rangle = 0.

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