Calcule o produto vetorial u \times v quando:
u=\left(x^{2} \sin (y), \tan (y), 6 x-2\right) e v=\left(2 x y \cos (y), 3 x, y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial de
u = \bigl(x^{2}\sin(y),\,\tan(y),\,6x-2\bigr)
e
v = \bigl(2xy\cos(y),\,3x,\,y^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é produto vetorial em \mathbb{R}^3, e vamos usar a expressão componente a componente.

Passo 2

Para vetores u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), vale
u\times v = \bigl( u_2\,v_3 - u_3\,v_2,\; u_3\,v_1 - u_1\,v_3,\; u_1\,v_2 - u_2\,v_1 \bigr).

Passo 3

Calculando a primeira componente:
u_2\,v_3 - u_3\,v_2 = \tan(y)\cdot y^2 \;-\;(6x-2)\cdot 3x = y^2\tan(y) - 3x\,(6x-2) = y^2\tan(y) -18x^2 +6x.

Passo 4

Calculando a segunda componente:
u_3\,v_1 - u_1\,v_3 = (6x-2)\cdot\bigl(2xy\cos(y)\bigr)\;-\;x^2\sin(y)\cdot y^2 = 12x^2y\cos(y) -4xy\cos(y) - x^2y^2\sin(y).

Passo 5

Calculando a terceira componente:
u_1\,v_2 - u_2\,v_1 = x^2\sin(y)\cdot 3x \;-\;\tan(y)\cdot\bigl(2xy\cos(y)\bigr) = 3x^3\sin(y) -2xy\cos(y)\tan(y) = 3x^3\sin(y) -2xy\sin(y) = x\sin(y)\,(3x^2 - 2y).

Resposta

u\times v = \bigl( y^2\tan(y) -18x^2 +6x,\; 12x^2y\cos(y) -4xy\cos(y) - x^2y^2\sin(y),\; x\sin(y)\,(3x^2 -2y) \bigr).

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