Calcule o produto escalar \langle u, v\rangle quando:
u=\left(-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}\right) e v=\left(2 x y,-8 z y,-6 x^{2}\right)

Passo 1

Resumo: temos os vetores u = \bigl(-1,-\tfrac12,-\tfrac13\bigr) e v = \bigl(2xy,\,-8zy,\,-6x^2\bigr).
O conteúdo é produto escalar em \mathbb{R}^3, e vamos usar a definição
\langle u,v\rangle = u_1v_1 \;+\; u_2v_2 \;+\; u_3v_3.

Passo 2

Aplicando a definição, obtemos
\langle u,v\rangle = (-1)\cdot(2xy) + \Bigl(-\tfrac12\Bigr)\cdot(-8zy) + \Bigl(-\tfrac13\Bigr)\cdot(-6x^2).

Passo 3

Simplificando termo a termo:
(-1)\cdot(2xy) = -2xy, \quad -\tfrac12\cdot(-8zy) = 4zy, \quad -\tfrac13\cdot(-6x^2) = 2x^2.
Somando tudo, fica
\langle u,v\rangle = -2xy + 4zy + 2x^2.

Resposta

\langle u,v\rangle = -2xy + 4zy + 2x^2

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