Exercício 3: Calcule as integrais.
\int \frac{1-\cos \theta}{5} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1-\cos\theta}{5}\,d\theta.
Aqui vamos usar a propriedade de linearidade da integral e as antiderivadas conhecidas de funções constantes e de \cos\theta.

Passo 2

Fatoramos a constante \tfrac{1}{5} para fora da integral, ficando
\int \frac{1-\cos\theta}{5}\,d\theta = \frac{1}{5}\int (1-\cos\theta)\,d\theta.

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
\int (1-\cos\theta)\,d\theta = \int 1\,d\theta \;-\;\int \cos\theta\,d\theta = \theta \;-\;\sin\theta + C',
pois \int 1\,d\theta=\theta e \int \cos\theta\,d\theta=\sin\theta.

Passo 4

Multiplicando o resultado pelo fator \tfrac{1}{5}, obtemos
\frac{1}{5}\bigl(\theta - \sin\theta + C'\bigr) = \frac{\theta - \sin\theta}{5} + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

\frac{\theta - \sin\theta}{5} + C

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