Exercício 3: Calcule as integrais.
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}\,dx.
O conteúdo aqui é a antiderivada de \frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}. Vamos usar a fórmula conhecida para esse tipo de integral.

Passo 2

A fórmula geral é
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}\,dx = \ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr| + C,
onde a>0. Aqui temos a=3.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=3, a primitiva de \frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}} é
F(x) = \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+9}\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos nos limites de x=0 até x=3:
\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}\,dx = F(3)-F(0) = \ln\bigl(3+\sqrt{9+9}\bigr) - \ln\bigl(0+\sqrt{9}\bigr).
Como \sqrt{9+9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} e \sqrt{9}=3, temos
F(3)-F(0) = \ln\bigl(3+3\sqrt{2}\bigr) - \ln(3) = \ln\!\bigl(\tfrac{3(1+\sqrt{2})}{3}\bigr) = \ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}\,dx = \ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

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