Calcule o produto escalar \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle e o ângulo entre os vetores:
\vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(1,-2)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com os vetores dados:
  • Calcular o produto escalar \langle\vec{u},\vec{v}\rangle.
  • Calcular o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
Os vetores fornecidos são:
\vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(1,-2).

Passo 2

Definição e interpretação do produto escalar em \mathbb{R}^2.
O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2) é dado por
\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2.
Aqui a_1 e a_2 são as componentes do vetor \vec{a}, e b_1 e b_2 são as componentes do vetor \vec{b}. Esse número diz, entre outras coisas, se os vetores formam ângulo agudo (produto escalar positivo), reto (zero) ou obtuso (negativo).

Passo 3

Cálculo do produto escalar \langle\vec{u},\vec{v}\rangle usando a fórmula.
Substituindo \vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(1,-2) na fórmula:
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 2\cdot 1 + 3\cdot(-2).
Agora faço as contas passo a passo:
2\cdot 1 = 2,\qquad 3\cdot(-2) = -6,
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\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = 2 + (-6) = -4.

Passo 4

Definição da norma (módulo) de um vetor e por que precisamos dela para achar o ângulo.
A norma de um vetor \vec{a}=(a_1,a_2) é
\|\vec{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}.
Para encontrar o ângulo entre dois vetores usamos a relação entre produto escalar e ângulo:
\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\| \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Dessa fórmula isolamos
\cos\theta = \dfrac{\langle\vec{a},\vec{b}\rangle}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}.

Passo 5

Cálculo das normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|.
Para \vec{u}=(2,3):
\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.
Para \vec{v}=(1,-2):
\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.

Passo 6

Cálculo de \cos\theta e interpretação do sinal.
Usando a fórmula:
\cos\theta = \dfrac{\langle\vec{u},\vec{v}\rangle}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{-4}{\sqrt{13}\,\sqrt{5}} = \dfrac{-4}{\sqrt{65}}.
O valor é negativo ( \dfrac{-4}{\sqrt{65}}<0), portanto o ângulo entre os vetores é obtuso (maior que 90^\circ e menor que 180^\circ).

Passo 7

Determinar \theta explicitamente e dar uma aproximação prática.
O ângulo \theta é dado por
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-4}{\sqrt{65}}\right).
Essa é a forma exata (com a função arco cosseno). Para uma aproximação numérica, calcule \dfrac{-4}{\sqrt{65}}\approx -0,4961389 e então
\theta \approx 119{,}7^\circ \approx 2{,}09\\ \text{rad}.
(Na prova, se não for permitido calcadora, deixe em forma de \operatorname{arccos} que é exata; se for permitido, use calculadora para obter a aproximação.)

Resposta

\langle\vec{u},\vec{v}\rangle = -4
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-4}{\sqrt{65}}\right) \approx 119{,}7^\circ \\ (\approx 2{,}09\\ \text{rad})

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