Calcule o produto escalar
e o ângulo entre os vetores:
e
Passo 1
O enunciado pede duas coisas com os vetores dados:
- Calcular o produto escalar
. - Calcular o ângulo entre
e .
Os vetores fornecidos são:
e
.
Passo 2
Definição e interpretação do produto escalar em
.
O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores
e
é dado por
Aqui
e
são as componentes do vetor
, e
e
são as componentes do vetor
. Esse número diz, entre outras coisas, se os vetores formam ângulo agudo (produto escalar positivo), reto (zero) ou obtuso (negativo).
Passo 3
Cálculo do produto escalar
usando a fórmula.
Substituindo
e
na fórmula:
Agora faço as contas passo a passo:
logo
Passo 4
Definição da norma (módulo) de um vetor e por que precisamos dela para achar o ângulo.
A norma de um vetor
é
Para encontrar o ângulo entre dois vetores usamos a relação entre produto escalar e ângulo:
onde
é o ângulo entre
e
. Dessa fórmula isolamos
Passo 5
Cálculo das normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Cálculo de
e interpretação do sinal.
Usando a fórmula:
O valor é negativo (
), portanto o ângulo entre os vetores é obtuso (maior que
e menor que
).
Passo 7
Determinar
explicitamente e dar uma aproximação prática.
O ângulo
é dado por
Essa é a forma exata (com a função arco cosseno). Para uma aproximação numérica, calcule
e então
(Na prova, se não for permitido calcadora, deixe em forma de
que é exata; se for permitido, use calculadora para obter a aproximação.)