Calcule o produto escalar e o produto vetorial dos seguintes vetores
f) A=a x+b y e B=b x-a y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar e o produto vetorial dos vetores
vec A = a hat x + b hat y e vec B = b hat x - a hat y.
Vamos usar as definições
vec A cdot vec B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
vec A times vec B = (Ay Bz - Az By)hat x + (Az Bx - Ax Bz)hat y + (Ax By - Ay Bx)hat z

Passo 2

Para o produto escalar identificamos Ax = a, Ay = b, Bx = b, By = -a e Az = Bz = 0. Logo,
vec A cdot vec B = acdot b + bcdot(-a) + 0cdot0 = ab - ab = 0

Passo 3

Para o produto vetorial usamos as componentes:
(vec A times vec B)x = Ay Bz - Az By = bcdot0 - 0cdot(-a) = 0,
(vec A times vec B)y = Az Bx - Ax Bz = 0cdot b - acdot0 = 0,
(vec A times vec B)z = Ax By - Ay Bx = acdot(-a) - bcdot b = -a^2 - b^2
Portanto
vec A times vec B = -(a^2 + b^2),hat z

Resposta

Produto escalar: 0.
Produto vetorial: - (a^2 + b^2),hat z.

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