9- Uma tensão de
v=12 \cos \left(60 t+45^{\circ}\right)
é aplicada a um indutor de 0,1 \mathrm{H}. Determine a corrente pelo indutor usando a transformação fasorial e depois convertendo para o domínio do tempo.
Sol: 2 /-45^{\circ} \mathrm{A} \quad i(t)=2 \cos \left(60 t-45^{\circ}\right) \mathrm{A}

Passo 1

O enunciado dá uma tensão senoidal aplicada a um indutor e pede que se determine a corrente pelo indutor usando transformação fasorial e depois retornar ao domínio do tempo. Informações fornecidas:
  • Tensão no tempo: v(t)=12\cos\bigl(60t+45^\circ\bigr) (amplitude 12, fase +45^\circ).
  • Indutor: L=0{,}1\\ \mathrm{H}.
  • Pedidos:
    1. Determinar a corrente em forma fasorial.
    2. Converter a corrente fasorial para a forma no domínio do tempo i(t).

Passo 2

Entendendo a representação fasorial e a regra para o indutor (explicação didática).
  • Qual é a ideia de fasor? Uma sinusoide x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi) pode ser representada por um número complexo (fasor) \tilde{X}=X_m\angle\varphi quando se trabalha com amplitudes de pico. Aqui: v(t)=12\cos\bigl(60t+45^\circ\bigr)\quad\longleftrightarrow\quad \tilde{V}=12\angle45^\circ.Explicação simples: o módulo do fasor é a amplitude da onda e o argumento é a fase.
  • Impedância do indutor: para um indutor vale Z_L=j\omega L,onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1), \omega é a frequência angular (aqui \omega=60\\ \mathrm{rad/s}) e L é a indutância. Essa fórmula significa que a tensão está defasada em +90^\circ em relação à corrente no indutor (isto é, a queda de tensão “antecipa” a corrente).
  • Observação prática: ao dividir fasores, divide‑se os módulos e subtraem‑se as fases (porque \dfrac{A\angle\alpha}{B\angle\beta}=(A/B)\angle(\alpha-\beta)).

Passo 3

Calcular a impedância do indutor com os números dados.
  • Primeiro calcule \omega L: \omega L = 60 \cdot 0{,}1 = 6.
  • Assim a impedância do indutor é Z_L = j\omega L = j6.
  • Em forma fasorial de módulo e ângulo, j6 pode ser escrito como 6\angle90^\circ (módulo 6, ângulo 90^\circ).

Passo 4

Formar o fasor da tensão e aplicar a lei de Ohm (na forma fasorial) para obter o fasor da corrente.
  • O fasor da tensão, retirado diretamente do enunciado, é \tilde{V}=12\angle45^\circ.
  • A corrente fasorial é \tilde{I}=\dfrac{\tilde{V}}{Z_L}. Substituindo: \tilde{I}=\frac{12\angle45^\circ}{6\angle90^\circ}.
  • Dividindo módulos e subtraindo ângulos: \tilde{I}=\left(\frac{12}{6}\right)\angle(45^\circ-90^\circ)=2\angle(-45^\circ).
  • Interpretação física: a corrente tem amplitude 2 e está defasada -45^\circ; note que a corrente está a 90^\circ atrás da tensão, porque 45^\circ - (-45^\circ)=90^\circ, conforme a propriedade do indutor.

Passo 5

Converter o fasor obtido de volta para o domínio do tempo.
  • A regra de conversão é: \tilde{I}=I_m\angle\theta corresponde a i(t)=I_m\cos(\omega t+\theta) quando se usa amplitude de pico no fasor.
  • Aqui \tilde{I}=2\angle(-45^\circ) e \omega=60. Portanto: i(t)=2\cos\bigl(60t-45^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança — mostra como checar na prova sem erro conceptual).
  • Para um indutor vale v(t)=L\,\dfrac{di}{dt}. Se i(t)=2\cos\bigl(60t-45^\circ\bigr) então \frac{di}{dt}=-2\cdot60\sin\bigl(60t-45^\circ\bigr)=-120\sin\bigl(60t-45^\circ\bigr).
  • Multiplicando por L=0{,}1: L\frac{di}{dt}=0{,}1\cdot(-120)\sin\bigl(60t-45^\circ\bigr)=-12\sin\bigl(60t-45^\circ\bigr).
  • Usando a identidade -\sin(\alpha)=\cos(\alpha+90^\circ) obtemos L\frac{di}{dt}=12\cos\bigl(60t-45^\circ+90^\circ\bigr)=12\cos\bigl(60t+45^\circ\bigr),que é exatamente v(t). Portanto a solução está correta.

Resposta

\tilde{I}=2\angle -45^\circ\\ \mathrm{A}
i(t)=2\cos\bigl(60t-45^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}

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