Sejam
e
vetores do espaço tais que
e
. Para cada valor de
listado abaixo, onde
representa o ângulo formado entre os vetores
e
, calcule o produto escalar
.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre os vetores e pede o produto escalar quando o ângulo entre eles é
:
-
. -
. - O ângulo entre
e é .
A pergunta concreta é: calcular
quando
.
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão do produto escalar entre dois vetores em termos das suas normas e do ângulo entre eles. A fórmula é
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (um número). -
é o comprimento (norma) do vetor . -
é o comprimento (norma) do vetor . -
é o ângulo entre os vetores; é o cosseno desse ângulo.
Essa fórmula diz, em palavras simples, que o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro, escalado pelos comprimentos.
Passo 3
Preciso do valor de
. Para calcular uso a relação de cosseno em ângulos suplementares:
E sabe-se (ou pode-se ver no triângulo equilátero/unit circle) que
Portanto
Passo 4
Agora substituo os valores na fórmula do produto escalar:
Faço a simplificação algébrica (cancelei o
com
):
Passo 5
Interpretação rápida: como
é um ângulo obtuso, o cosseno é negativo, logo o produto escalar fica negativo — isso faz sentido: vetores apontando em direções em mais de 90° têm projeção negativa entre si. Força mental: o cálculo já reduziu a expressão para
, então resta apresentar o resultado numérico final.
Resposta
-3