Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores do espaço tais que |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3. Para cada valor de \theta listado abaixo, onde \theta representa o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
\theta=120^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre os vetores e pede o produto escalar quando o ângulo entre eles é 120^\circ:
  • |\vec{u}| = 2.
  • |\vec{v}| = 3.
  • O ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \theta = 120^\circ.
A pergunta concreta é: calcular \vec{u}\cdot\vec{v} quando \theta=120^\circ.

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão do produto escalar entre dois vetores em termos das suas normas e do ângulo entre eles. A fórmula é
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (um número).
  • |\vec{u}| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u}.
  • |\vec{v}| é o comprimento (norma) do vetor \vec{v}.
  • \theta é o ângulo entre os vetores; \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
Essa fórmula diz, em palavras simples, que o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro, escalado pelos comprimentos.

Passo 3

Preciso do valor de \cos 120^\circ. Para calcular uso a relação de cosseno em ângulos suplementares:
\cos 120^\circ = \cos(180^\circ-60^\circ) = -\cos 60^\circ.
E sabe-se (ou pode-se ver no triângulo equilátero/unit circle) que
\cos 60^\circ = \frac{1}{2}.
Portanto
\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora substituo os valores na fórmula do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta = 2\cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = 2\cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right).
Faço a simplificação algébrica (cancelei o 2 com \tfrac{1}{2}):
2\cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3\cdot(-1).

Passo 5

Interpretação rápida: como \theta=120^\circ é um ângulo obtuso, o cosseno é negativo, logo o produto escalar fica negativo — isso faz sentido: vetores apontando em direções em mais de 90° têm projeção negativa entre si. Força mental: o cálculo já reduziu a expressão para 3\cdot(-1), então resta apresentar o resultado numérico final.

Resposta

-3

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