Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores tais que |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3. Para cada valor de \theta listado abaixo, onde \theta representa o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
\theta=180^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • |\vec{u}| = 2.
  • |\vec{v}| = 3.
  • O ângulo entre os vetores é \theta = 180^\circ.
O que é pedido:
  • Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} para esse valor de \theta.

Passo 2

Recordando a fórmula principal que liga produto escalar, normas e ângulo:
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta.
Explicando cada termo:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • |\vec{u}| e |\vec{v}| são os comprimentos (normas) dos vetores.
  • \theta é o ângulo entre eles.
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo, um número entre -1 e 1.
Essa fórmula é muito útil na prova: ela transforma um problema de vetores em contas com números e o cosseno do ângulo.

Passo 3

Agora avaliaremos \cos\theta para \theta = 180^\circ.
Geometricamente, 180^\circ significa que os vetores apontam em direções exatamente opostas. No círculo trigonométrico:
\cos 180^\circ = -1.
Intuição: se um vetor aponta exatamente na direção oposta ao outro, a projeção de um sobre o outro tem sentido contrário, por isso o sinal negativo.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta = 2 \cdot 3 \cdot \cos 180^\circ.
Usando \cos 180^\circ = -1:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 2 \cdot 3 \cdot (-1) = 6 \cdot (-1) = -6.

Passo 5

Interpretação rápida (útil na hora da prova): o produto escalar deu negativo porque os vetores estão em sentidos opostos; o módulo do resultado é igual ao produto das normas 2\cdot3, mas com sinal negativo pela oposição de direção. Boa forma de checar se o resultado faz sentido.

Resposta

-6

Exercícios relacionados