Sejam
e
vetores tais que
e
. Para cada valor de
listado abaixo, onde
representa o ângulo formado entre os vetores
e
, calcule o produto escalar
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. - O ângulo entre os vetores é
.
O que é pedido:
- Calcular o produto escalar
para esse valor de .
Passo 2
Recordando a fórmula principal que liga produto escalar, normas e ângulo:
Explicando cada termo:
-
é o produto escalar entre os vetores e . -
e são os comprimentos (normas) dos vetores. -
é o ângulo entre eles. -
é o cosseno desse ângulo, um número entre e .
Essa fórmula é muito útil na prova: ela transforma um problema de vetores em contas com números e o cosseno do ângulo.
Passo 3
Agora avaliaremos
para
.
Geometricamente, significa que os vetores apontam em direções exatamente opostas. No círculo trigonométrico:
Geometricamente,
Intuição: se um vetor aponta exatamente na direção oposta ao outro, a projeção de um sobre o outro tem sentido contrário, por isso o sinal negativo.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Usando
:
Passo 5
Interpretação rápida (útil na hora da prova): o produto escalar deu negativo porque os vetores estão em sentidos opostos; o módulo do resultado é igual ao produto das normas
, mas com sinal negativo pela oposição de direção. Boa forma de checar se o resultado faz sentido.