Calcule o produto interno usual dos vetores abaixo, e selecione as sentenças verdadeiras com VeFas falsas.
Considere \vec{u}=(1,0,3), \vec{v}=(1,1,2) e \vec{w}=(1,0,1).
a) \vec{u} \cdot \vec{v}=\square.
b) \vec{u} \cdot \vec{w}=\square.
c) \vec{v} \cdot \vec{w}=\square.
d) \square \vec{u} \cdot \vec{v}=\vec{v} \cdot \vec{u}, \forall u, v \in V.
e) \square \vec{u} \cdot \vec{v} \neq 0 se, e somente se \vec{u} \perp \vec{v}, \forall u, v \in V.
3 0 -17 100

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto interno usual em \mathbb{R}^3 dos vetores \vec{u}=(1,0,3), \vec{v}=(1,1,2) e \vec{w}=(1,0,1), e verificar duas afirmações sobre propriedades do produto interno:
– (d) simetria \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.
– (e) perpendicularidade \vec{u}\cdot\vec{v}\neq0 se, e somente se, \vec{u}\perp\vec{v}.

Passo 2

A definição do produto interno usual em \mathbb{R}^3 é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Para \vec{u}\cdot\vec{v} temos
\vec{u}\cdot\vec{v} =1\cdot1+0\cdot1+3\cdot2 =1+0+6 =7.

Passo 3

Para \vec{u}\cdot\vec{w} calculamos
\vec{u}\cdot\vec{w} =1\cdot1+0\cdot0+3\cdot1 =1+0+3 =4.

Passo 4

Para \vec{v}\cdot\vec{w} calculamos
\vec{v}\cdot\vec{w} =1\cdot1+1\cdot0+2\cdot1 =1+0+2 =3.

Passo 5

A propriedade de simetria do produto interno diz que para todo \vec{u},\vec{v}\in V vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.
Portanto a afirmação (d) é verdadeira.

Passo 6

Por definição, dois vetores são perpendiculares se, e somente se, seu produto interno é zero:
\vec{u}\perp\vec{v}\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{u}\cdot\vec{v}=0.
A afirmação (e) diz o oposto ( \vec{u}\cdot\vec{v}\neq0 se, e somente se, \vec{u}\perp\vec{v}), o que é falso.

Resposta

(a) 7
(b) 4
(c) 3
(d) Verdadeira
(e) Falsa

Exercícios relacionados