Qual das equações abaixo representa a reta que passa A(-2,2,-6) e tem direção \vec{u}= (5, 1, 0):
(a) \frac{x+2}{5}=y-2, z=-6
(b) \frac{x-5}{-2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-6}
(c) \frac{x-2}{5}=y+2, z=-6
(d) \frac{x+2}{5}=y-2=\frac{z+6}{7}

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta em \mathbb{R}^3 que passa por A(-2,2,-6) e tem vetor diretor \vec{u}=(5,1,0). O conteúdo é equação paramétrica e simétrica de retas em 3D, usando que, para um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e vetor diretor (u_1,u_2,u_3), temos
x = x_0 + u_1\,t,\quad y = y_0 + u_2\,t,\quad z = z_0 + u_3\,t
e, se u_i\neq0, a forma simétrica
\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}.

Passo 2

Escrevendo a forma paramétrica usando t\in\mathbb{R}:
x = -2 + 5t,\quad y = 2 + 1\cdot t,\quad z = -6 + 0\cdot t = -6.
Daí vem z=-6 constante e
x+2 = 5t,\quad y-2 = t.

Passo 3

Eliminando t entre x+2=5t e y-2=t, obtemos
\frac{x+2}{5} = y-2,
complementado por z=-6. Logo a forma simétrica da reta é
\frac{x+2}{5} = y-2,\quad z=-6.

Passo 4

Comparando com as alternativas:
(a) \displaystyle \frac{x+2}{5}=y-2,\;z=-6 — corresponde exatamente ao que achamos.
(b), (c) e (d) não reproduzem o mesmo ponto nem o mesmo vetor diretor.

Resposta

(a)

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