Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
9 y=x^2;

Passo 1

O enunciado pede para trabalharmos com a superfície quadricada em (x,y,z) dada por
9y = x^2
O conteúdo aqui é classificação de quádricas em três dimensões: vamos identificar que tipo de superfície é, esboçar seu formato usando seções transversais e verificar se ela pode ser obtida por revolução de uma curva plana.

Passo 2

Para identificar o tipo de superfície, note que a equação não envolve z. Isso significa que, para cada par (x,y) que satisfaça
y = x^29,
a coordenada z pode ser qualquer valor real. Logo, a superfície é uma parábola em x e y “esticada” em toda a direção do eixo z. Em outras palavras, temos uma paraboloide cilíndrica (ou simplesmente cilindro parabólico).

Passo 3

Para esboçar, veja duas famílias de seções:
  1. Seções horizontais: para y=const, a equação vira
x^2 = 9,y!0,
que só tem solução real se y!0>=0; para cada y!0>=0 obtemos dois pontos simétricos em x.
  1. Seções verticais paralelas a y!z: para x=x!0 fixo, a equação dá
y = x!0^29,
que é um ponto fixo em y, mas a reta inteira em z.
Portanto, o esboço é a parábola y=x^2/9 no plano z=0, estendida indefinidamente para cima e para baixo ao longo do eixo z.

Passo 4

Uma superfície de revolução é obtida girando uma curva plana em torno de um eixo. Se tentássemos girar a parábola y=x^2/9 em torno de y, obteríamos a superfície
x^2 + z^2 = 9y,
que não é a nossa equação (falta o z^2). Assim, o cilindro parabólico 9y=x^2 não é uma superfície de revolução.

Resposta

A superfície é um cilindro parabólico definido por
y = x^29,
esticado ao longo de z. Seu esboço é a parábola y=x^2/9 no plano z=0 transladada em todas as direções de z. Ela não é de revolução.

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