Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
;
Passo 1
O enunciado pede para trabalharmos com a superfície quadricada em
dada por
O conteúdo aqui é classificação de quádricas em três dimensões: vamos identificar que tipo de superfície é, esboçar seu formato usando seções transversais e verificar se ela pode ser obtida por revolução de uma curva plana.
Passo 2
Para identificar o tipo de superfície, note que a equação não envolve
. Isso significa que, para cada par
que satisfaça
a coordenada
pode ser qualquer valor real. Logo, a superfície é uma parábola em
e
“esticada” em toda a direção do eixo
. Em outras palavras, temos uma paraboloide cilíndrica (ou simplesmente cilindro parabólico).
Passo 3
Para esboçar, veja duas famílias de seções:
- Seções horizontais: para
, a equação vira
que só tem solução real se
; para cada
obtemos dois pontos simétricos em
.
- Seções verticais paralelas a
: para fixo, a equação dá
que é um ponto fixo em
, mas a reta inteira em
.
Portanto, o esboço é a parábola
no plano
, estendida indefinidamente para cima e para baixo ao longo do eixo
.
Passo 4
Uma superfície de revolução é obtida girando uma curva plana em torno de um eixo. Se tentássemos girar a parábola
em torno de
, obteríamos a superfície
que não é a nossa equação (falta o
). Assim, o cilindro parabólico
não é uma superfície de revolução.
Resposta
A superfície é um cilindro parabólico definido por
esticado ao longo de
. Seu esboço é a parábola
no plano
transladada em todas as direções de
. Ela não é de revolução.