Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
-2 x=y^2+z^2;

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de superfície quádricas é dada por
-2,x = y^2 + z^2,
desenhar seu esboço e dizer se ela é superfície de revolução. O conteúdo que vamos usar é a classificação de quádricas pela comparação com formas canônicas (paraboloide elíptico, hiperbolóide, etc.) e o estudo de seções planas para entender a geometria e possíveis simetrias.

Passo 2

Colocamos a equação na forma canônica de paraboloide. Basta isolar x:
x = -12l(y^2 + z^2r)
Como x aparece de maneira linear e y^2 e z^2 com sinais iguais, isso caracteriza um paraboloide elíptico.

Passo 3

Analisamos as seções para entender a forma:
  1. Seção por planos x=const=x0. Então y^2+z^2 = -2x0 Só há pontos se -2x0>=0, ou seja x0<=0, e as curvas são círculos de raio raiz-2x0.
  2. Seção por planos que contêm o eixo x, por exemplo z=0. Fica x = -tfrac12,y^2, que é uma parábola no plano xy com vértice em (0,0,0) voltada para x<0. O mesmo vale para y=0, no plano xz.

Passo 4

Como as seções x=const são círculos em (y,z), a superfície é obtida girando a parábola x=-tfrac12,y^2 em torno do eixo x. Logo, é superfície de revolução em torno do eixo x.

Passo 5

Esboço qualitativo:
  • Marque o vértice em (0,0,0).
  • No plano xy (com z=0), desenhe a parábola que abre para a esquerda: x=-tfrac12y^2.
  • Depois imagine essa parábola girando ao redor do eixo x, gerando um “taco” arredondado que se alarga conforme x fica mais negativo.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (0,0,0), eixo de simetria ao longo de x e abrindo para x<0. É de revolução em torno do eixo x.

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