Identificar, esboçar e dizer se é de revolução a quádrica de equação:
;
Passo 1
O enunciado pede para identificar que tipo de superfície quádricas é dada por
desenhar seu esboço e dizer se ela é superfície de revolução. O conteúdo que vamos usar é a classificação de quádricas pela comparação com formas canônicas (paraboloide elíptico, hiperbolóide, etc.) e o estudo de seções planas para entender a geometria e possíveis simetrias.
Passo 2
Colocamos a equação na forma canônica de paraboloide. Basta isolar
:
Como
aparece de maneira linear e
e
com sinais iguais, isso caracteriza um paraboloide elíptico.
Passo 3
Analisamos as seções para entender a forma:
- Seção por planos
. Então Só há pontos se , ou seja , e as curvas são círculos de raio . - Seção por planos que contêm o eixo
, por exemplo . Fica que é uma parábola no plano com vértice em voltada para . O mesmo vale para , no plano .
Passo 4
Como as seções
são círculos em
, a superfície é obtida girando a parábola
em torno do eixo
. Logo, é superfície de revolução em torno do eixo
.
Passo 5
Esboço qualitativo:
- Marque o vértice em
. - No plano
(com ), desenhe a parábola que abre para a esquerda: . - Depois imagine essa parábola girando ao redor do eixo
, gerando um “taco” arredondado que se alarga conforme fica mais negativo.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em
, eixo de simetria ao longo de
e abrindo para
. É de revolução em torno do eixo
.