Calcule o produto misto para os seguintes vetores a seguir:
a=2 imath-jmath+k ; b=imath-jmath+k e c=imath+2 jmath-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto misto de três vetores. Isso faz parte da matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar conhecer como calcular o produto escalar e o produto vetorial, além de saber calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores a, b e c é definido como o produto escalar de um desses vetores com o produto vetorial dos outros dois. Matemáticamente, fica assim:
a cdot (b times c)
Esse valor também corresponde ao determinante da matriz formada pelas componentes dos três vetores.

Passo 3

Vamos organizar os vetores em uma matriz para calcular o determinante. Nossos vetores são:
a = 2 imath - jmath + k b = imath - jmath + k c = imath + 2 jmath - k
Colocando as componentes em uma matriz:
2 & -1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 2 & -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que o determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
a & b & c d & e & f g & h & i = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
2 cdot [(-1)(-1) - (1)(2)] - (-1) cdot [(1)(-1) - (1)(1)] + 1 cdot [(1)(2) - (-1)(1)]

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
2 cdot [(1) - (2)] = 2 cdot (-1) = -2
  1. Segundo termo:
-(-1) cdot [(-1) - (1)] = 1 cdot (-2) = -2
  1. Terceiro termo:
1 cdot [(2) - (-1)] = 1 cdot (3) = 3

Passo 6

Agora, somamos esses resultados:
-2 + (-2) + 3 = -4 + 3 = -1

Resposta

O produto misto dos vetores a, b e c é igual a -1.

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