Responda Verdadeiro ou Falso, DEMONSTRANDO as afirmativas verdadeiras, e JUSTIFICANDO adequadamente as falsas:
Temos que para toda matriz .
Passo 1
O enunciado pergunta se para toda matriz de tamanho vale
O conteúdo envolve o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e a propriedade de que . Vamos usar essas ferramentas para comparar as dimensões dos núcleos de e de .
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão de uma transformação linear temos
Analogamente, para vale
Passo 3
Sabemos também que
Substituindo em cada identidade, obtemos
Passo 4
Comparando os dois resultados temos
logo só são iguais se , isto é, se e somente se . Assim, em geral para a igualdade não ocorre.