Responda Verdadeiro ou Falso, DEMONSTRANDO as afirmativas verdadeiras, e JUSTIFICANDO adequadamente as falsas:
Temos que dim N(A)=dim N(A^t) para toda matriz Am times n.

Passo 1

O enunciado pergunta se para toda matriz A de tamanho mtimes n vale
dim N(A) ;=;dim N(A^t)
O conteúdo envolve o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) e a propriedade de que rank(A)=rank(A^t). Vamos usar essas ferramentas para comparar as dimensões dos núcleos de A e de A^t.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão de uma transformação linear Acolon R^ntoR^m temos
dim N(A) + rank(A) = n
Analogamente, para A^tcolon R^mtoR^n vale
dim N(A^t) + rank(A^t) = m

Passo 3

Sabemos também que
rank(A) = rank(A^t) = r
Substituindo em cada identidade, obtemos
dim N(A) = n - r, dim N(A^t) = m - r

Passo 4

Comparando os dois resultados temos
dim N(A) = n - r, dim N(A^t) = m - r,
logo só são iguais se n-r = m-r, isto é, se e somente se n=m. Assim, em geral para mneq n a igualdade não ocorre.

Passo 5

Contraexemplo concreto: seja
A = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 ,
uma matriz 2times 3. Então rank(A)=2, logo
dim N(A) = 3-2 = 1, dim N(A^t) = 2-2 = 0
Portanto as dimensões dos núcleos são diferentes.

Resposta

Falso.

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