Calcule o produto misto para os seguintes vetores a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de produto misto! O enunciado pede para calcular o produto misto dos vetores a, b e c. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, mais especificamente o produto escalar e o produto vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e depois o produto escalar desse resultado com o terceiro vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os vetores que nos deram:
- a = 2𝑖 - 𝑗 + 𝑘
- b = 3𝑖 - 𝑗 + 𝑘
- c = 𝑖 + 2𝑗 - 3𝑘
Nosso objetivo é calcular o produto misto, que é representado por a · (b × c). Ou seja, primeiro fazemos o produto vetorial de b com c, e depois fazemos o produto escalar desse resultado com a.
Passo 3
Vamos começar calculando o produto vetorial b × c. Para isso, usamos a regra do determinante com os vetores 𝑖, 𝑗 e 𝑘:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então,
Passo 4
Agora, vamos fazer o produto escalar de a com o vetor que obtivemos do produto vetorial, ou seja, a · (b × c):
Multiplicando os componentes correspondentes:
Resposta
O produto misto dos vetores a, b e c é igual a -1.