Calcule o produto misto para os seguintes vetores a seguir:
a=2 imath-jmath+k ; b=3 imath-jmath+k e c=imath+2 jmath-3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de produto misto! O enunciado pede para calcular o produto misto dos vetores a, b e c. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, mais especificamente o produto escalar e o produto vetorial. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e depois o produto escalar desse resultado com o terceiro vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os vetores que nos deram:
  • a = 2𝑖 - 𝑗 + 𝑘
  • b = 3𝑖 - 𝑗 + 𝑘
  • c = 𝑖 + 2𝑗 - 3𝑘
Nosso objetivo é calcular o produto misto, que é representado por a · (b × c). Ou seja, primeiro fazemos o produto vetorial de b com c, e depois fazemos o produto escalar desse resultado com a.

Passo 3

Vamos começar calculando o produto vetorial b × c. Para isso, usamos a regra do determinante com os vetores 𝑖, 𝑗 e 𝑘:
b times c = imath & jmath & k 3 & -1 & 1 1 & 2 & -3
Calculando o determinante:
imath cdot ( (-1)(-3) - (1)(2) ) - jmath cdot ( 3(-3) - (1)(1) ) + k cdot ( 3(2) - (-1)(1) )
Simplificando:
imath cdot (3 - 2) - jmath cdot (-9 - 1) + k cdot (6 + 1)
imath cdot 1 - jmath cdot (-10) + k cdot 7
Então,
b times c = imath + 10jmath + 7k

Passo 4

Agora, vamos fazer o produto escalar de a com o vetor que obtivemos do produto vetorial, ou seja, a · (b × c):
a cdot (b times c) = (2imath - jmath + k) cdot (imath + 10jmath + 7k)
Multiplicando os componentes correspondentes:
2 times 1 + (-1) times 10 + 1 times 7
2 - 10 + 7
-8 + 7 = -1

Resposta

O produto misto dos vetores a, b e c é igual a -1.

Exercícios relacionados