Verifique se os pontos A(1,2,4), B(-1,0,2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) são coplanares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria onde precisamos verificar se quatro pontos no espaço tridimensional estão todos na mesma “folha”, ou seja, se são coplanares. Para resolver isso, vamos usar vetores e o produto misto, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a descobrir se quatro pontos estão no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que a gente tem:
  • Ponto A: (1, 2, 4)
  • Ponto B: (-1, 0, 2)
  • Ponto C: (0, 2, 2)
  • Ponto D: (-2, 1, -3)
Vamos escolher o ponto A como referência e criar três vetores a partir dele até os outros pontos:
  • Vetor AB = B - A = (-1-1, 0-2, 2-4) = (-2, -2, -2)
  • Vetor AC = C - A = (0-1, 2-2, 2-4) = (-1, 0, -2)
  • Vetor AD = D - A = (-2-1, 1-2, -3-4) = (-3, -1, -7)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto misto desses três vetores. O produto misto nos dá um valor que, se for zero, indica que os quatro pontos são coplanares. A fórmula do produto misto é:
Produto Misto = AB cdot (AC times AD)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial ( AC times AD):
AC times AD = i & j & k -1 & 0 & -2 -3 & -1 & -7 = i(0 times -7 - (-2) times -1) - j(-1 times -7 - (-2) times -3) + k(-1 times -1 - 0 times -3) = -2i -1j +1k
Então, AC times AD = (-2, -1, 1).

Passo 4

Agora, vamos fazer o produto escalar entre AB e (AC times AD):
AB cdot (AC times AD) = (-2) times (-2) + (-2) times (-1) + (-2) times 1 = 4 + 2 - 2 = 4

Passo 5

O resultado do produto misto foi 4. Como esse valor não é zero, isso significa que os quatro pontos não estão todos no mesmo plano.

Resposta

Os pontos A(1,2,4), B(-1,0,2), C(0,2,2) e D(-2,1,-3) não são coplanares.

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