Seja T: R^3 R^4 uma transformação linear tal que T(1,1,0) = (0,3,2,1), T(1,0,1) = (0,1,0,0) e T(1,2,1) = (0,0,1,0).
Encontre a matriz de T nas bases canônicas.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^4 e fornece
T(1,1,0)=(0,3,2,1), T(1,0,1)=(0,1,0,0), T(1,2,1)=(0,0,1,0)
Queremos a matriz de T nas bases canônicas, isto é, os vetores T(e1), T(e2) e T(e3).

Passo 2

Denotemos
X=T(e1), Y=T(e2), Z=T(e3)
Como (1,1,0)=e1+e2, (1,0,1)=e1+e3 e (1,2,1)=e1+2e2+e3, temos o sistema
X+Y=(0,3,2,1), X+Z=(0,1,0,0), X+2Y+Z=(0,0,1,0)

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
Z - Y = (0,1,0,0) - (0,3,2,1) = (0,-2,-2,-1)

Passo 4

Subtraindo a primeira da terceira, obtemos
Y + Z = (0,0,1,0) - (0,3,2,1) = (0,-3,-1,-1)

Passo 5

Resolvendo o sistema
Z - Y = (0,-2,-2,-1), Z + Y = (0,-3,-1,-1),
somamos as duas para achar 2Z e daí
Z = tfrac12(0,-5,-3,-2) = l(0,-tfrac52,-tfrac32,-1r)
Em seguida
Y = Z - (Z - Y) = l(0,-tfrac52,-tfrac32,-1r) - (0,-2,-2,-1) = l(0,-tfrac12,tfrac12,0r)

Passo 6

Finalmente, da primeira equação X+Y=(0,3,2,1), segue
X = (0,3,2,1) - l(0,-tfrac12,tfrac12,0r) = l(0,tfrac72,tfrac32,1r)

Passo 7

A matriz de T na base canônica tem como colunas X,Y,Z. Logo,
M(T)= 0 & 0 & 0 tfrac72 & -tfrac12 & -tfrac52 tfrac32 & tfrac12 & -tfrac32 1 & 0 & -1

Resposta

0 & 0 & 0 tfrac72 & -tfrac12 & -tfrac52 tfrac32 & tfrac12 & -tfrac32 1 & 0 & -1

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