Determine o vetor v que satisfaça as condições.
l v cdot(3 imath+2 jmath)=6 v times(2 jmath+3 k)=2 imath

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o vetor v que satisfaz duas condições:
  1. O produto escalar de v com 3imath + 2jmath é igual a 6.
  2. O produto vetorial de v com 2jmath + 3k é igual a 2imath.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e produto vetorial. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor v de forma geral. Podemos escrever:
v = ximath + yjmath + zk
Aqui, x, y e z são componentes desconhecidas que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira condição, que envolve o produto escalar. O produto escalar de dois vetores a = a1imath + a2jmath + a3k e b = b1imath + b2jmath + b3k é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso à nossa primeira condição:
v cdot (3imath + 2jmath) = 3x + 2y = 6
Então, temos a primeira equação:
3x + 2y = 6 (Equação 1) çã

Passo 4

Agora, vamos para a segunda condição, que envolve o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a e b resulta em um vetor perpendicular a ambos e é calculado usando a regra do determinante:
a times b = imath & jmath & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Aplicando isso à nossa segunda condição:
v times (2jmath + 3k) = imath & jmath & k x & y & z 0 & 2 & 3
Calculando o determinante:
v times (2jmath + 3k) = imath(y cdot 3 - z cdot 2) - jmath(x cdot 3 - z cdot 0) + k(x cdot 2 - y cdot 0)
Simplificando:
v times (2jmath + 3k) = (3y - 2z)imath - 3xjmath + 2xk
De acordo com a condição, isso é igual a 2imath. Então temos:
(3y - 2z)imath - 3xjmath + 2xk = 2imath
Isso nos dá as seguintes equações:
3y - 2z = 2 (Equação 2) çã
-3x = 0 (Equação 3) çã
2x = 0 (Equação 4) çã

Passo 5

Vamos resolver as Equações 3 e 4 primeiro, já que elas envolvem apenas x:
-3x = 0 Rightarrow x = 0
2x = 0 Rightarrow x = 0
Então, temos que x = 0.

Passo 6

Agora que sabemos que x = 0, podemos usar a Equação 1 para encontrar y:
3x + 2y = 6 Rightarrow 3(0) + 2y = 6 Rightarrow 2y = 6 Rightarrow y = 3
Então, y = 3.

Passo 7

Por fim, usamos a Equação 2 para encontrar z:
3y - 2z = 2 Rightarrow 3(3) - 2z = 2 Rightarrow 9 - 2z = 2
-2z = 2 - 9 Rightarrow -2z = -7 Rightarrow z = 72
Então, z = 72.

Resposta

O vetor que satisfaz as condições é:
v = 0,imath + 3,jmath + 72,k

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