Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o vetor que satisfaz duas condições:
O produto escalar de com é igual a 6.
O produto vetorial de com é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente produto escalar e produto vetorial. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o vetor de forma geral. Podemos escrever:
Aqui, , e são componentes desconhecidas que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos usar a primeira condição, que envolve o produto escalar. O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso à nossa primeira condição:
Então, temos a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição, que envolve o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e resulta em um vetor perpendicular a ambos e é calculado usando a regra do determinante:
Aplicando isso à nossa segunda condição:
v times (2jmath + 3k) = imath & jmath & k x & y & z 0 & 2 & 3
Calculando o determinante:
v times (2jmath + 3k) = imath(y cdot 3 - z cdot 2) - jmath(x cdot 3 - z cdot 0) + k(x cdot 2 - y cdot 0)
Simplificando:
v times (2jmath + 3k) = (3y - 2z)imath - 3xjmath + 2xk
De acordo com a condição, isso é igual a 2imath. Então temos:
(3y - 2z)imath - 3xjmath + 2xk = 2imath
Isso nos dá as seguintes equações:
3y - 2z = 2 (Equação 2) çã
-3x = 0 (Equação 3) çã
2x = 0 (Equação 4) çã
Passo 5
Vamos resolver as Equações 3 e 4 primeiro, já que elas envolvem apenas x:
-3x = 0 Rightarrow x = 0
2x = 0 Rightarrow x = 0
Então, temos que x = 0.
Passo 6
Agora que sabemos que x = 0, podemos usar a Equação 1 para encontrar y: