Calcule o produto misto dos vetores a=(1,2,3), b=(0,1,0) e c=(1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o produto misto dos vetores a=(1,2,3), b=(0,1,0) e c=(1,0,1). O produto misto, também chamado de produto escalar triplo, é definido por
[a,b,c] ;=; acdot(btimes c),
que corresponde ao volume orientado do paralelepípedo gerado por a,b,c. Para resolver, vamos primeiro calcular o produto vetorial btimes c e depois o produto escalar de a com esse resultado.

Passo 2

Calculamos btimes c usando a definição via determinante
btimes c = i & j & k 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 =i,(1cdot1 - 0cdot0) -j,(0cdot1 - 0cdot1) +k,(0cdot0 - 1cdot1) =i-k
Logo, em coordenadas cartesianas,
btimes c = (1,0,-1)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de a com btimes c:
acdot(btimes c) =(1,2,3)cdot(1,0,-1) =1cdot1 + 2cdot0 + 3cdot(-1) =1 - 3 =-2

Resposta

-2

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