Calcule o produto misto dos vetores (1,1,3), (2,-1,5) e (4,-3,1). Esses vetores são coplanares?

Passo 1

O enunciado pede o produto misto (ou triplo escalar) dos vetores (1,1,3), (2,-1,5) e (4,-3,1), e em seguida verificar se eles são coplanares. O conteúdo aqui é o cálculo de determinante 3times3 para obter o produto misto, e usar o critério de que vetores são coplanares se, e somente se, o produto misto for zero.

Passo 2

O produto misto l[ (1,1,3), (2,-1,5), (4,-3,1) r] é dado pelo determinante
1 & 1 & 3 2 & -1 & 5 4 & -3 & 1
e podemos expandi-lo pela primeira linha:
De<a &= 1 cdot -1 & 5 [6pt] -3 & 1 - 1 cdot 2 & 5 [4pt] 4 & 1 + 3 cdot 2 & -1 [4pt] 4 & -3 ]

Passo 3

Calculando cada menor 2times2:
-1 & 5 -3 & 1 =(-1)cdot1 - 5cdot(-3)= -1 +15=14,
2 & 5 4 & 1 =2cdot1 - 5cdot4=2 -20=-18,
2 & -1 4 & -3 =2cdot(-3) -(-1)cdot4=-6 +4=-2
Substituindo em De<a:
De<a=1cdot14 -1cdot(-18) +3cdot(-2) =14 +18 -6 =26

Passo 4

Como o produto misto é De<a=26neq0, concluímos que os vetores não são coplanares (o critério de coplanaridade exige produto misto igual a zero).

Resposta

O produto misto é 26.
Os vetores não são coplanares.

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