Nos exercícios 47 a 52 , determine a dimensão e uma base para o subespaço vetorial W.
W=(x, y, z) in R^3 / y=3 x

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z)inR^3 mid y = 3x
Queremos determinar a dimensão de W e exibir uma base. Vamos usar o fato de que uma única equação linear impõe um grau de liberdade a menos em R^3.

Passo 2

Parametrizamos o vetor (x,y,z)in W impondo y=3x. Assim
(x,y,z) = (x,3x,z) = x,(1,3,0) ;+; z,(0,0,1)

Passo 3

Na expressão acima temos dois parâmetros livres, x e z. Isso mostra que
  1. W é gerado pelos vetores (1,3,0) e (0,0,1).
  2. Esses dois vetores são linearmente independentes (não há combinação não trivial que dê o vetor zero).
Logo dim W = 2 e uma base de W é
(1,3,0),,(0,0,1)

Resposta

dim W = 2
Uma base de W é (1,3,0),,(0,0,1).

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