Nos exercícios 47 a 52 , determine a dimensão e uma base para o subespaço vetorial W.
W=(x, y, z) in R^3 / 2 x-y+3 z=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar a dimensão e uma base para o subespaço WsubseteqR^3 definido pela equação linear homogênea
2x - y + 3z = 0
O conteúdo é subespaços, dimensão e base, e vamos resolver a equação para obter um sistema paramétrico de geradores.

Passo 2

Da equação
2x - y + 3z = 0
isolamos y:
y = 2x + 3z
Isso mostra que x e z são variáveis livres. Definindo s = x e t = z, qualquer vetor de W pode ser escrito como
(x,y,z) = (s,,2s+3t,,t) = s,(1,2,0) ;+; t,(0,3,1)
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W = span(1,2,0),,(0,3,1)

Passo 3

Verificamos que (1,2,0) e (0,3,1) são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial delas é o vetor zero). Portanto, formam uma base de W. Como essa base tem dois vetores, a dimensão de W é igual a 2.

Resposta

A dimensão de W é 2 e uma base para W é
(1,2,0),,(0,3,1)

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