Calcule o produto das raízes da equação 4^{x^{2}+2}-3 \cdot 2^{x^{2}+3}=160.

Passo 1

O enunciado pede o produto das raízes reais de
4^{x^{2}+2}-3\cdot2^{x^{2}+3}=160.
O conteúdo envolve manipular potências de base 2 e resolver uma equação quadrática em uma nova variável.

Passo 2

Observe que
4^{x^{2}+2}=(2^{2})^{x^{2}+2}=2^{2x^{2}+4}=16\bigl(2^{x^{2}}\bigr)^{2}
e
3\cdot2^{x^{2}+3}=3\cdot2^{x^{2}}\,2^{3}=24\,2^{x^{2}}.

Passo 3

Defina t=2^{x^{2}}, que é sempre positivo. Substituindo na equação, temos
16\,t^{2}-24\,t-160=0.
Dividindo ambos os lados por 8, obtém-se
2\,t^{2}-3\,t-20=0.
Essa é uma equação quadrática em t. Aplicando a fórmula de Bhaskara,
t=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot2\cdot(-20)}}{2\cdot2} =\frac{3\pm\sqrt{9+160}}{4} =\frac{3\pm13}{4}.

Passo 4

Os dois possíveis valores são
t_{1}=\frac{16}{4}=4, \quad t_{2}=\frac{-10}{4}=-2{,}5.
Como t=2^{x^{2}}>0, descartamos t_{2}. Ficamos com
2^{x^{2}}=4=2^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=2
e, portanto, as raízes reais são
x=\sqrt{2} \quad\text{e}\quad x=-\sqrt{2}.

Passo 5

O produto das raízes é
\bigl(\sqrt{2}\bigr)\times\bigl(-\sqrt{2}\bigr)=-2.

Resposta

-2

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