Em uma cidade, a população de pessoas é dada por \mathrm{P}(t)=P_{0} \cdot 2^{\dagger} e a população de ratos é dada por R(t)=R_{0} .4^{t}, sendo o tempo ( t ) medidos em anos. Se em 1992 havia 112.000 pessoas e 7.000 ratos, em que ano o número de ratos será igual ao de pessoas?

Passo 1

O enunciado trata de duas populações crescendo exponencialmente a partir de 1992: a de pessoas
P(t)=P_{0}\,2^{t}
e a de ratos
R(t)=R_{0}\,4^{t},
onde t é o número de anos após 1992, P_{0}=112000 e R_{0}=7000. Queremos achar t tal que P(t)=R(t).

Passo 2

Escrevemos a equação
112000\cdot 2^{t}=7000\cdot 4^{t}.

Passo 3

Usamos 4^{t}=(2^2)^{t}=2^{2t} e dividimos ambos os lados por 7000:
\frac{112000}{7000}\,2^{t}=2^{2t} \quad\Longrightarrow\quad 16\cdot 2^{t}=2^{2t}.
Como 16=2^4, fica
2^4\cdot 2^{t}=2^{2t} \quad\Longrightarrow\quad 2^{t+4}=2^{2t} \quad\Longrightarrow\quad t+4=2t \quad\Longrightarrow\quad t=4.

Passo 4

t=4 significa 4 anos após 1992, ou seja, o ano de 1996.

Resposta

1996

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