Determinar a soma das soluções reais da equação |x+2|=2 .|x-2|.

Passo 1

Resumindo, queremos resolver a equação de valor absoluto
|x+2| = 2\cdot|x-2|
Isso envolve funções definidas em pedaços, pois o valor de |x+2| e de |x-2| depende do sinal de x+2 e de x-2. Os pontos críticos são x=-2 e x=2, onde as expressões internas mudam de sinal. Vamos analisar cada intervalo separado por esses pontos.

Passo 2

No intervalo x< -2 temos x+2<0 e x-2<0. Logo
|x+2| = -(x+2), \quad |x-2| = -(x-2).
A equação vira
-(x+2) \;=\; 2\bigl[-(x-2)\bigr] \;\Longrightarrow\; -(x+2) = -2(x-2).
Multiplicando por -1,
x+2 = 2(x-2) \;\Longrightarrow\; x+2 = 2x-4 \;\Longrightarrow\; x = 6.
Mas 6 não pertence ao intervalo x< -2. Logo, não há solução aqui.

Passo 3

No intervalo -2 \le x < 2 temos x+2\ge0 e x-2<0. Então
|x+2| = x+2, \quad |x-2| = -(x-2) = 2 - x.
A equação passa a ser
x+2 = 2\,(2 - x) \;\Longrightarrow\; x+2 = 4 - 2x \;\Longrightarrow\; 3x = 2 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{2}{3}.
Verificamos que \tfrac{2}{3} está de fato em [-2,2), então é solução válida.

Passo 4

No intervalo x\ge 2 temos x+2\ge0 e x-2\ge0. Assim
|x+2| = x+2, \quad |x-2| = x-2.
A equação se torna
x+2 = 2\,(x-2) \;\Longrightarrow\; x+2 = 2x-4 \;\Longrightarrow\; x = 6.
E 6\ge2, logo é solução válida neste intervalo.

Passo 5

As soluções reais da equação são
x = \tfrac{2}{3} \quad\text{e}\quad x = 6.
A soma dessas soluções é
\tfrac{2}{3} + 6 = \tfrac{2}{3} + \tfrac{18}{3} = \tfrac{20}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{20}{3}

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