Calcule o produto \underset{\sim}{\underline{M}} \cdot \underset{\sim}{N}, onde \underset{\sim}{\underline{M}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1\end{array}\right] e \underset{\sim}{N}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede o produto de matrizes \underset{\sim}{\underline{M}} e \underset{\sim}{N}, onde
\underset{\sim}{\underline{M}} \in \mathbb{R}^{2\times3} \quad\text{e}\quad \underset{\sim}{N} \in \mathbb{R}^{3\times2}.
O conteúdo é multiplicação de matrizes, que se baseia no produto escalar entre linhas da primeira e colunas da segunda.

Passo 2

Verificamos a compatibilidade de dimensões: o número de colunas de \underset{\sim}{\underline{M}} (que é 3) coincide com o número de linhas de \underset{\sim}{N} (também 3), logo o produto existe e terá dimensão 2\times2.

Passo 3

Pela definição de multiplicação de matrizes, o elemento (i,j) da matriz resultante \underset{\sim}{\underline{P}}=\underset{\sim}{\underline{M}}\cdot\underset{\sim}{N} é
p_{ij} \;=\; \sum_{k=1}^{3} m_{i k}\,n_{k j}.

Passo 4

Calculamos p_{11} usando a primeira linha de \underset{\sim}{\underline{M}} e a primeira coluna de \underset{\sim}{N}:
p_{11} = m_{11}n_{11} + m_{12}n_{21} + m_{13}n_{31} = 1\cdot3 + 0\cdot2 + 2\cdot1 = 3 + 0 + 2 = 5.

Passo 5

Calculamos p_{12} usando a primeira linha de \underset{\sim}{\underline{M}} e a segunda coluna de \underset{\sim}{N}:
p_{12} = 1\cdot1 + 0\cdot1 + 2\cdot0 = 1 + 0 + 0 = 1.

Passo 6

Calculamos p_{21} usando a segunda linha de \underset{\sim}{\underline{M}} e a primeira coluna de \underset{\sim}{N}:
p_{21} = (-1)\cdot3 + 3\cdot2 + 1\cdot1 = -3 + 6 + 1 = 4.

Passo 7

Calculamos p_{22} usando a segunda linha de \underset{\sim}{\underline{M}} e a segunda coluna de \underset{\sim}{N}:
p_{22} = (-1)\cdot1 + 3\cdot1 + 1\cdot0 = -1 + 3 + 0 = 2.

Resposta

\underset{\sim}{\underline{M}}\;\cdot\;\underset{\sim}{N} = \begin{pmatrix} 5 & 1\\\\ 4 & 2 \end{pmatrix}.

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