Dada a matriz \underset{\sim}{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 0 & -1\end{array}\right] e o vetor \underset{\sim}{v}=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -2 \\\\ 5\end{array}\right], calcule o produto \underset{\sim}{A} \cdot \underset{\sim}{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\underset{\sim}{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 3 & 2\\\\ 4 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e o vetor
\underset{\sim}{v} = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 5\end{pmatrix}
e pede o produto \underset{\sim}{A}\cdot\underset{\sim}{v}. O conteúdo aqui é multiplicação de matriz por vetor, que consiste em combinar cada linha de \underset{\sim}{A} com as entradas de \underset{\sim}{v}.

Passo 2

O produto \underset{\sim}{A}\cdot\underset{\sim}{v} é um vetor cujas componentes são dadas por
(\underset{\sim}{A}\cdot\underset{\sim}{v})_i \;=\;\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,v_j,
onde a_{ij} é o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de \underset{\sim}{A}, e v_j é a j-ésima entrada de \underset{\sim}{v}.

Passo 3

Calculando a primeira componente:
(\underset{\sim}{A}\cdot\underset{\sim}{v})_1 =2\cdot3 \;+\;1\cdot(-2)\;+\;0\cdot5 =6-2+0 =4.

Passo 4

Calculando a segunda componente:
(\underset{\sim}{A}\cdot\underset{\sim}{v})_2 =-1\cdot3 \;+\;3\cdot(-2)\;+\;2\cdot5 =-3-6+10 =1.

Passo 5

Calculando a terceira componente:
(\underset{\sim}{A}\cdot\underset{\sim}{v})_3 =4\cdot3 \;+\;0\cdot(-2)\;+\;(-1)\cdot5 =12+0-5 =7.

Resposta

\underset{\sim}{A}\cdot\underset{\sim}{v} =\begin{pmatrix}4\\\ 1\\\ 7\end{pmatrix}.

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