Dadas as matrizes \underset{\sim}{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -1 & 0\end{array}\right] e \underset{\sim}{B}=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 4 & 5\end{array}\right], calcule:
a) O produto \underset{\sim}{A} \cdot \underset{\sim}{B}.
b) O produto \underset{\sim}{B} \cdot \underset{\sim}{A}.
c) Os resultados de (a) e (b) são iguais? O que isso demonstra sobre a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes?
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes A e B em \mathbb{R}^{2\times2}:
A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ -1 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 4 & 5\end{pmatrix}
e pede (a) o produto A \cdot B, (b) o produto B \cdot A e (c) verificar se eles são iguais, discutindo assim a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes. Vamos usar a definição de multiplicação C = A B com
C_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Passo 2
Calcular A \cdot B. Chamando C = A B, seus elementos são:
C_{11} = 2\cdot1 + 3\cdot4 = 2 + 12 = 14,
C_{12} = 2\cdot(-2) + 3\cdot5 = -4 + 15 = 11,
C_{21} = (-1)\cdot1 + 0\cdot4 = -1 + 0 = -1,
C_{22} = (-1)\cdot(-2) + 0\cdot5 = 2 + 0 = 2.
Portanto,
A \cdot B = \begin{pmatrix}14 & 11 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Passo 3
Calcular B \cdot A. Chamando D = B A, obtemos:
D_{11} = 1\cdot2 + (-2)\cdot(-1) = 2 + 2 = 4,
D_{12} = 1\cdot3 + (-2)\cdot0 = 3 + 0 = 3,
D_{21} = 4\cdot2 + 5\cdot(-1) = 8 - 5 = 3,
D_{22} = 4\cdot3 + 5\cdot0 = 12 + 0 = 12.
Logo,
B \cdot A = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ 3 & 12\end{pmatrix}.
Passo 4
Comparando
A \cdot B = \begin{pmatrix}14 & 11 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B \cdot A = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ 3 & 12\end{pmatrix},
vemos que não são iguais. Isso mostra que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Resposta
a) \displaystyle A \cdot B = \begin{pmatrix}14 & 11 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
b) \displaystyle B \cdot A = \begin{pmatrix}4 & 3 \\\\ 3 & 12\end{pmatrix}.
c) Não são iguais, o que demonstra que a multiplicação de matrizes não é comutativa.