Calcule o produto vetorial u \times v quando:
u=(\cos (x) \cos (y), \cos (x) \sin (y),-\sin (x)) e v=(-\sin (x) \sin (y), \sin (x) \cos (y), 0)

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial entre os vetores
u = \bigl(\cos(x)\cos(y),\;\cos(x)\sin(y),\;-\sin(x)\bigr)
e
v = \bigl(-\sin(x)\sin(y),\;\sin(x)\cos(y),\;0\bigr).
O conteúdo aqui é produto vetorial em \mathbb{R}^3, e vamos usar a fórmula
u \times v = \bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1\bigr).

Passo 2

Identificamos as componentes de u e v:
u_1 = \cos(x)\cos(y),\quad u_2 = \cos(x)\sin(y),\quad u_3 = -\sin(x),
v_1 = -\sin(x)\sin(y),\quad v_2 = \sin(x)\cos(y),\quad v_3 = 0.

Passo 3

Calculamos a primeira componente:
(u \times v)_1 = u_2v_3 - u_3v_2 = \cos(x)\sin(y)\cdot 0 - \bigl(-\sin(x)\bigr)\cdot \sin(x)\cos(y) = \sin^2(x)\cos(y).

Passo 4

Calculamos a segunda componente:
(u \times v)_2 = u_3v_1 - u_1v_3 = \bigl(-\sin(x)\bigr)\cdot\bigl(-\sin(x)\sin(y)\bigr) - \cos(x)\cos(y)\cdot 0 = \sin^2(x)\sin(y).

Passo 5

Calculamos a terceira componente:
(u \times v)_3 = u_1v_2 - u_2v_1 = \cos(x)\cos(y)\cdot\sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)\cdot\bigl(-\sin(x)\sin(y)\bigr)
= \sin(x)\cos(x)\bigl(\cos^2(y)+\sin^2(y)\bigr) = \sin(x)\cos(x).

Passo 6

Reunindo as componentes, fica
u \times v = \bigl(\sin^2(x)\cos(y),\;\sin^2(x)\sin(y),\;\sin(x)\cos(x)\bigr).

Resposta

u \times v = \bigl(\sin^2(x)\cos(y),\;\sin^2(x)\sin(y),\;\sin(x)\cos(x)\bigr).

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