Calcule as seguintes integrais duplas
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x}(1+2 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função (x,y)\mapsto 1+2y sobre a região triangular \{(x,y)\mid 0\le y\le x\le1\}. Vamos usar integração iterada, primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{x}(1+2y)\,dy.
Sabendo que
\int(1+2y)\,dy = y + y^2,
temos
\int_{0}^{x}(1+2y)\,dy = \bigl[y+y^2\bigr]_{0}^{x} = x + x^2.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x + x^2\bigr)\,dx.
Como
\int x\,dx = \tfrac{x^2}{2} \quad\text{e}\quad \int x^2\,dx = \tfrac{x^3}{3},
seguimos
\int_{0}^{1}(x + x^2)\,dx = \left[\tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \tfrac12 + \tfrac13.

Passo 4

Somando as frações:
\tfrac12 + \tfrac13 = \tfrac{3}{6} + \tfrac{2}{6} = \tfrac{5}{6}.

Resposta

\frac{5}{6}

Exercícios relacionados