Sejam w=(1,1,-1) e t=(0,-1,-1).
a) Determine os vetores simultaneamente ortogonais a w e t.
b) Determine os vetores unitários simultaneamente ortogonais a w e t

Passo 1

Estamos em R^3 e queremos todos os vetores vec v=(x,y,z) que satisfazem simultaneamente
vec vcdotvec w = 0 e vec vcdotvec t = 0,
ou seja, encontrar o subespaço ortogonal a vec w=(1,1,-1) e a vec t=(0,-1,-1).

Passo 2

Escrevendo as condições de ortogonalidade por produto escalar, temos
vec vcdotvec w = x + y - z = 0,
vec vcdotvec t = 0cdot x + (-1)y + (-1)z = -y - z = 0

Passo 3

Da segunda equação vem y+z=0, ou seja z=-y. Substituindo em x+y-z=0
x + y -(-y) = x + 2y = 0 Longrightarrow x = -2y
Logo
vec v = (x,y,z) = (-2y,,y,,-y) = y,(-2,,1,,-1)
Portanto todos os vetores ortogonais a vec w e vec t são da forma
vec v = k,(-2,,1,,-1), kinR

Passo 4

Para obter vetores unitários normalizamos (-2,1,-1). Seu comprimento é
|,-2,1,-1| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz6
Assim os unitários são
pm 1raiz6,(-2,,1,,-1)

Resposta

a) ,k(-2,,1,,-1)mid kinR
b) pm1raiz6(-2,,1,,-1)

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